نگاهی نو به حسابان

A new look at calculus

رفع اشکال

  • رفع اشکال در تلگرام riyazi98ir@ برگزار می شود

اشکالات کتب درسی : حسابان 1 و حسابان 2 و ریاضی 3 و...

در این مقاله اشکالات مهم ریاضی دهم و یازدهم و دوازدهم رشته تجربی و رشته ریاضی را در حیطه ی شرح مفاهیم توضیح خواهم داد. البته اشکالات تایپی و فرعی مد نظر نیست. مثلا این که در صفحه 73 کتاب حسابان 2 رشته ریاضی اشتباها به جای سال 1666 ، سال 1366 تایپ شده و یا احتمالا ! اشتباهاتی از این دسته ، مد نظر نیست.
 

اشکال اول :
بزرگترین اشکال کتاب ریاضی 3 تجربی و حسابان 2 ریاضی در شروع مفهوم مشتق است. در حسابان 2 صفحات 72 و 73 و 74 و در کتاب ریاضی 3 صفحات 66 و 67 و 68 هیچ اشاره ای به این موضوع نشده است : چون شیب خط مماس در یک نقطه را با داشتن فقط یک نقطه نمی توانیم بدست آوریم بنابراین از شیب خطوط نزدیک به خط مماس استفاده می کنیم. در این قسمت به فلسفه ی بسیار زیبای این موضوع نمی پردازم اما اصل موضوع این است : نمی توانیم ، پس از مفهوم قرب (نزدیک شدن) استفاده می کنیم.


اشکال دوم :

مفهوم متوسط تغییر (یا همان میانگین تغییر) یک عملیات ساده ریاضیات است که ممکن است همه ما در طول روز از این مفهوم استفاده کنیم.
برای مثال میزان پس اندازه یک شخص را طی 4 ماه در نظر بگیرید. فرض می کنیم شخصی برای شروع 1 میلیون تومان داشته و ماه چهارم 9 میلیون تومان دارد. سوال اول : طی این چهار ماه چقدر پس انداز کرده است؟  (8 = 1 - 9) 8 میلیون تومان (با یک تفریق ساده به جواب می رسیم). سوال دوم : به طور میانگین هر ماه چقدر پس انداز کرده است؟ کاملا مشخص است ماهانه 2 میلیون تومان. (8 تقسیم بر 4)
از صفحه 102 تا 110 به این موضوع با مثال های مختلف پرداخته شده ، اما شرح آن برای شروع بسیار ضعیف است.
به صفحه 102 حسابان 2 توجه فرمایید:

اشکال سوم :
این اشکال در تعریف حد است. به عکس زیر که از صفحه 119 حسابان 1 گرفته شده است دقت کنید :


دقیقا تعریفی که در کتاب استفاده شده است ترجمه متن بالا (حسابِ دیفرانسیل Adams) است.
در خط سوم نوشته شده است که به قدر کافی به a نزدیک شود، در حالی که شرط همسایگی ، ابتدا گذاشته شده است !!!
در کتاب بالا تعریف informal عنوان شده است و دلیل آن هم گفته شده :
" این تعریف غیررسمی است زیرا عباراتی مانند نزدیک هر چه می خواهیم و نزدیک به اندازه کافی دقیق نیستند. "
حال تعریف دقیق آن :
فرض کنیم تابع f در یک همسایگی نقطه a تعریف شده باشد . حد تابع f وقتی x به a نزدیک می شود برابر عدد حقیقی L است : هر گاه هر مقدار که خواستیم بتوانیم (f(x ها را (به ازای x هایی از همسایگی محذوف نقطه a) به عدد L نزدیک کنیم.
این تعریف از حد دقیقا پایه و مبنای تعریف اپسیلون و دلتا است.
اما تعریف تقریبا متفاوت که در متن کتاب در شرح موضوع از آن استفاده شده است ! صفحه 116 از حسابان 1
و صفحه 47 حسابان 2
است.
بلواقع در حسابان 1 و حسابان 2 برای توضیح و شرح مفهوم حد از این تعریف استفاده شده است اما برای تعریف دقیق آن خیر!
البته مفهوم حد ، در مثال بسیار عالی ، شرح داده شده است ، اما در تعریف آن در صفحه 119 اشکال دیده می شود. (وقتی تعریف همسایگی مطرح شده است، دانش آموز نباید استلزامِ نزدیک شدن متغیر به نقطه a را تحلیل کند.)
بهترین تعریف از مفهوم حد خصوصا برای شروع:
هر مقدار که از چپ و راست به نقطه a نزدیک می شویم مقادیر تابع فقط به یک عدد نزدیک شود. نیازی به تعریف همسایگی هم برای دانش آموز نیست. در کتاب نگاهی نو به حسابان این تعریف دقیقا با مثال شرح داده شده است.


اشکال چهارم :
این اشکال مربوط به عنوان کتاب است. عنوان کتاب باید حسابِ دیفرانسیل باشد. اولین کتاب با عنوان حساب دیفرانسیل (differential calculus) در سال 1696 توسط هوپیتال منتشر شد. در طی این مدت زمانی که می گذرد حسابِ دیفرانسیل ، هنوز کامل به زبان فارسی ترجمه نشده است. در کتاب حسابِ دیفرانسیل که قبلا منتشر شده است این چنین شرح داده  می شود :


نکته بالا  " حسابِ دیفرانسیل " را برای دانش آموز تحلیل نمی کند. قاعدتا دانش آموز باید این موضوع را حفظ کند. در صورتی که حتی اگر بخواهیم ترجمه کلمه به کلمه هم داشته باشیم این موضوع را تحلیل دقیق کرده ایم. خود واژه differential در دیکشنری Longman این چنین ترجمه شده است :
base on or depending on a difference یعنی بیس و پایه آن بر مبنای تفاوت.
حال اگر واژه به واژه نخواهیم ترجمه کنیم و بخواهیم شرح مفهوم داشته باشیم :
تفاوت اعداد در ریاضیات ، فلسفه ی وجودی مفاهیم کاهش یا افزایش است و کاهش و افزایش است که مفهوم تغییر را برای ما تداعی می کند. به بیانی واضح تر حسابِ دیفرانسیل حسابی است که به تحلیل و بررسی تغییرات می پردازد.
اگر در شیب خطوط تفاوتی نبود نیاز به استفاده از مفهوم حد نداشتیم و مفهوم مشتق وجود نداشت و اگر در مقادیر تابع تفاوتی نبود و تابع ناپیوسته نداشتیم باز هم نیاز به مفهوم حد نبود. بنابراین این حساب ، حسابِ تفاوت است. به همین سادگی ! انشاءالله روزی برسد که حسابِ دیفرانسیل را حسابِ تفاوت ها ترجمه کنیم !

اشکال پنجم :
شروع مفهوم حد ، صفحه 114 برای حسابان 1 ، صحیح نیست.

وقتی گفته می شود تابع در نقطه ای حد ندارد، یعنی مقادیر تابع حول آن نقطه به عدد مشخصی نزدیک نمی شود. در مثال پایین برای دانش آموز کاملا مشخص نمی شود که به یک عدد نزدیک می شویم یا خیر؟ هر چند هم اگر دانش آموز با مفهوم عدد پی هم آشنا باشد و مشخص باشد که این لیست به عدد پی نزدیک می شود، با توجه به این که این عدد گنگ است، باز هم این مساله برای شروع حد مناسب نمی باشد.

اشکال ششم :
شروع مفهوم حد با مساله پایین باز هم صحیح نیست.

اگر قرار باشد برای شروع مفهوم حد ، کاربرد آن را که پیوستگی هست مطرح کنیم، قاعدتا این مثال برای شروع صحیح نیست. با توجه به این که تابع بالا در نقطه x = 2 مقدار ندارد بنابراین تابع در این نقطه پیوسته نیست و نیازی به استفاده از مفهوم حد نداریم. البته طرح این مثال در بخش های بعدی و طرح مسائلی از حد که باید رفع ابهام شوند برای یادگیری مناسب است.

اشکال هفتم :
به تعریف زیر که در شروع مفهوم مشتق مطرح شده است دقت کنید :
در خط سوم مشاهده می کنیم که ذکر شده است : این حد موجود و متناهی باشد!!!! مگر حد موجود و نامتناهی هم داریم ؟!!!! لذا در تعریف بالا ممکن است دانش آموز شرط متناهی را یک استلزام مجزا به حساب بیاورد

در صفحه 85 کتاب حسابان 2  " و متناهی " در پرانتز نوشته شده است!
در صفحه 84 کتاب حسابان 2  " متناهی " در پرانتز نوشته شده است .

بهتر است در پرانتز و البته فقط کلمه " متناهی " نوشته شود همانند صفحه 84. هر چند که این مورد هم پیشنهاد نمی شود.

اشکال هشتم :
همانطور که شروع مفهوم مشتق ذکر نشده است که چون شیب خط مماس را با داشتن یک نقطه نمی توانیم بدست آوریم بنابراین از شیب خطوط نزدیک به خط مماس استفاده می کنیم برای فصل حد و پیوستگی برای شروع قسمت پیوستگی ، صفحه 145 (با اینکه مثال های خوبی ابتدای فصل ذکر شده است) در انتها با متنی دقیق این موضوع مطرح نشده است که همیشه، فقط با تحلیل مقدار تابع در یک نقطه نمی توانیم بریدگی یک نمودار را مشخص کنیم بنابراین خیلی مواقع نیاز پیدا می کنیم که از مفهوم حد استفاده کنیم

اشکال نهم :
در صفحه 39 حسابان 1 مفهوم هم دامنه به این شکل توصیف شده است :
فلسفه ی وجودی مفهومی به نام هم دامنه در ریاضی 1 و حسابان 1 به آن اشاره ای نشده است. البته بهتر بود که در ریاضی 1 به آن اشاره می شد. برای مثال : برای شناسایی (رویداد) افراد در جامعه برای هر نفر یک کد ملی در نظر گرفته می شود. در تابعی که از این رویداد بوجود می آید ، مجموعه ی همه ی کدهای ملی که ممکن است داده شود هم دامنه هستند و کدهای ملی ای که تا به الان به افراد داده شده اند ، برد تابع محسوب می شوند.
حال ، بعد از ذکر این نکته، برای نمایش جدیدی که از تابع در حسابان 1 برای دانش آموزان مطرح می شود ، می توان هم دامنه را به شکلی که در صفحه 39 گفته شده توضیح داد.

اشکال دهم :
ممکن است در صفحه 95 ریاضی 1 یک مفهوم در ذهن دانش آموز تداعی شود و صفحه 40 حسابان 1 یک مفهوم دیگر!
در صفحه 40 حسابان،  تابع ، یک ماشین در نظر گرفته شده که ورودی و خروجی دارد.

دقیق ترین تعریف برای تابع :
حسابِ دیفرانسیل ، حسابِ تفاوت هاست. در دنیایی که در آن زندگی می کنیم ، رویدادها باعث می شوند ، بین مقادیر متفاوت ارتباط به وجود آید. این ارتباط را در ریاضیات به شکل زیر توصیف می کنیم و به آن عنوان تابع را می دهیم.
یک تابع از مجموعه A به مجموعه B ، رابطه ی بین این دو مجموعه است که هر عضو در مجموعه A را دقیقاً به یک عضو از مجموعه B نسبت می دهد.
در کتاب ریاضی 1 ، بهتر بود از عبارت " توصیف رابطه " هم استفاده می شد.

اشکال یازدهم : صفحه 86 حسابان 2
هر چند که قرار شد که اشکالات مفهومی را توضیح دهم اما این نحوه اثبات (با اینکه از رفرنس سیلورمن برداشته شده است) بسیار جالب است!
به نحوه اثبات دقت کنید : از کجا شروع شده است ؟! از جایی نامعلوم.
حال از کجا باید شروع شود؟
و ادامه هم در کتاب آمده...

نویسنده : مجید هلاکویی